رابطه های طولی در دایره

اگر وتر های یک دایره یکدیگر را درون دایره قطع کنند یا امتداد وتر ها یکدیگر را در خارج دایره قطع کنند بین اندازه پاره خط های ایجاد شده روابطی برقرار است که در قضیه های زیر به آنها می پردازیم.

قضیه 1

هر گاه دو وتر دلخواه AB و CD یکدیگر را درون دایره در نقطه M قطع کنند، آنگاه:

\(MA \times MB = MC \times MD\)

اثبات

از A به D و از B به C وصل می کنیم در دو مثلث ایجاد شده داریم:

محاطی \(\hat A = \hat C = \frac{{BD}}{2}\)

محاطی \(\hat B = \hat D = \frac{{AC}}{2}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow A\mathop M\limits^\Delta D \sim B\mathop M\limits^\Delta C \Rightarrow \frac{{AM}}{{MC}} = \frac{{MD}}{{MB}}\\\\ \Rightarrow AM \times MB = MC \times MD\end{array}\)

قضیه 2

هرگاه امتداد های دو وتر AB و CD یکدیگر را خارج دایره در نقطه M قطع کنند آنگاه:

\(MA \times MB = MC \times MD\)

اثبات

از A به D و از C به B وصل می کنیم، در مثلث ایجاد شده داریم:

\(\begin{array}{l}\hat B = \hat D = \frac{{AC}}{2}\\\\\hat M = \hat M\\\\A\mathop M\limits^\Delta D \sim C\mathop M\limits^\Delta B \Rightarrow \frac{{MA}}{{MC}} = \frac{{MD}}{{MB}}\\\\ \Rightarrow MA \times MB = MC \times MD\end{array}\)

قضیه 3

هرگاه از نقطه M خارج دایره یک مماس و یک قاطع بر دایره رسم کنیم، آنگاه مربع اندازه مماس برابر است با حاصل ضرب اندازه های دو قطعه قاطع، یعنی:

\(M{T^2} = MA \times MB\)

(به عبارت دیگر طول مماس واسطه هندسی بین دو قطعه قاطع است.)

اثبات

از T به A و B وصل می کنیم در دو مثلث \(M\mathop A\limits^\Delta T\)  و \(M\mathop B\limits^\Delta T\)  داریم:

\(\begin{array}{l}\hat B = \hat T = \frac{{AT}}{2}\\\\\hat M = \hat M\\\\ \Rightarrow M\mathop A\limits^\Delta T \sim M\mathop B\limits^\Delta T \Rightarrow \frac{{MA}}{{MT}} = \frac{{MT}}{{MB}}\\\\M{T^2} = MA \times MB\end{array}\)